Tugas Kelompok Fisika

TUGAS FISIKA
             NAMA KELOMPOK : 
     DENDI PRANA YUDHA 43E57006095016
   DENDY MAULANA SEPTIYADI 43E57006095017
  TEUKU RANDY AZHARI OSMAN 43E57006095045
              STMIK KHARISMA
                2009 / 2010
VEKTOR1. Vektor di Ruang 2
  Besaran Skalar dan Besaran Vektor

    Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
  
    (panjang/nilai)
       Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
    
    Besaran Vektor­> memiliki besar dan arah
  
       Contoh: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
    
       magnet, medan listrik
    Notasi Vektor
  
       Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
    
       Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
    
       Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
    
       ditulis dengan lambang u = AB
       Notasi u dibaca “vektor u”
    
                                                                   3
Penyajian Vektor
                                                        a
  Vektor sbg pasangan bilangan                       u = 

                                                        b
                                                         
     u = (a,b)
  
        a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
     
  Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j

     u = ai + bj
  
  Panjang vektor u ditentukan oleh rumus

   | u |= a 2 + b 2
                                                            4
Kesamaan Vektor
  Dua buah vektor dikatakan sama besar bila

  besar dan arahnya sama.
    Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
  
    Jika u = v, maka
  
       |u| = |v|
    
       arah u = arah v
    
       a=c dan b=d
    
                                             5
   a        b         a      b
Dua vektor sama,     Dua Vektor
      a = b       mempunyai besar
                     sama, arah
                       berbeda
   a     b
                       a
                                b
 Dua vektor arah
                   Dua Vektor besar
 sama, besaran
                  dan arah berbeda
      beda
                                     6
Penjumlahan Vektor
                       w = u + v       v
   u
             v                                w = u + v
                                        u
  Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan

  aturan jajaran genjang u =
  Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

       a           c
   u =   dan v =  
       b           d 
                    
          a  c   a + c 
   u +v =  +  = 
           b   d  b + d  
                          
                                                      7
Elemen Identitas
  Vektor nol ditulis 0

  Vektor nol disebut elemen identitas

  u + 0 = 0 + u = u

  Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,

  maka –u adalah invers aditif u yang
  didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
  besar sama tetapi arah berlawanan.
  u – u = u + (­u) = 0

                                              8
Pengurangan Vektor
  Selisih dua vektor u
                                             v
                                       u
  dan v ditulis u – v
  didefinisikan u + (­v)
  Dalam bentuk

                                         u
  pasangan bilangan
                             w = u ­ v     ­v
      a           c
  u =   dan v =  
      b           d 
                   
         a  c   a − c 
  u −v =  −  = 
         b   d  b − d 
                           
                      
                                                9
Perkalian vektor :
   Perkalian vektor dengan skalar :
•
                r
                a
 Jika vektor     dikalikan dengan skalar s akan
   menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
                              r
                              a
   absolute  s  dengan arah      jika s positif,  dan
                                                r
                                               ar
   berlawanan arah jika s negatif.   Vektor      
                                                  a
   dibagi dengan s berarti kita mengkalikan      
   dengan 1/s.
   Perkalian vektor dengan vektor :
•
   Menghasilkan skalar  : Scalar Product

Dikenal sebagai : Dot product
Perkalian Vektor dengan
Skalar
   mu adalah suatu vektor

                                       u
   dg panjang m kali
   panjang vektor u dan                  2u
   searah dengan u jika
   m > 0, dan berlawanan
   arah jika m < 0.
         a
Jika u =   dan m ∈{ bilangan real} ,
         b
          
               a   ma 
maka : mu = m  =  
               b   mb 
                 
                                            11
Sifat-Sifat Operasi Vektor
  Komutatif  a + b = b + a

  Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)

  Elemen identitas terhadap penjumlahan

  Sifat tertutup­> hasil penjumlahan vektor juga

  berupa vektor
  Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

  1u = u

  0u = 0, m0 = 0.

  Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0  

                                               12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
(lanj.)
  (mn)u = m(nu)

  |mu| = |m||u|

  (­mu) = ­ (mu) = m (­u)

  Distributif : (m+n)u = mu + nu

  Distributif : m(u+v) = mu + mv

  u+(­1)u = u + (­u) = 0

                                  13
  Besar Vektor Hasil Penjumlahan
  dan Pengurangan
Penjumlahan                       Pengurangan
            a           c                a            c
 Jika u =   dan v =            Jika u =   dan v =  
            b           d                b            d 
                                                       
          a  c   a + c                a  c   a − c 
u +v =  +  = 
           b   d  b + d     u −v =  −  = 
                                            b   d  b − d 
                                                               
                                                     
| u + v |= (a + c) 2 + (b + d ) 2 | u − v |= (a − c) 2 + (b − d ) 2
                                                                   14
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
   v
             | u + v |= | u |2 + | v |2 +2 | u || v | cos θ
       u + v
 θ
    u
         u­v
v
               | u − v |= | u |2 + | v |2 −2 | u || v | cos θ
  θ
      u
                                                            15
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
                 |u+v|         |u|        |v|
                         =             =
   v
                  sin α    sin(α − β ) sin β
         u + v
                 β : arah vektor hasil penjumlahan
      β
 α
    u
                 |u−v|         |u|        |v|
           u­v
                         =              =
v
                  sin α    sin( β − α ) sin β
               β
  α
                 β : arah vektor hasil pengurangan
        u
                                                   16
                    r                                          ax
Besar vektor      :  
                  aa              a  a    dan    tan  
                                   2       2
                                   x       y
                                                              ay
                                                       r
                                                r
Khusus  untuk penjumlahan 2 vektor (               ),           
                                                a  dan b
                r
                s
     besar vektor       dapat dicari dengan rumus :
                s  a 2  b 2  2ab   cos 
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2  b 2  c 2  2 bc   cos 
                 b 2  a 2  c 2  2 ac   cos 
                 c 2  a 2  b 2  2 ab   cos 
                      a         b        c
                                    
Dalil sinus :
                    sin  sin  sin 
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan
z diberi tanda : , ˆ  dan k
                          ˆ
               ˆ
              i j
    Vektor Posisi
                    OA = a dan OB = b
                  
                    adalah vektor posisi.
Y
                    AB = AO + OB
                  
                          = OB – OA
                  
      A
                          = b – a
                  
             B
    a
         b
  0             X
                                          19
Dot Product (Inner Product)
    Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua

    vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
    cosinus sudut antara keduanya.
     a • b =| a || b | cos γ
     Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
 
     maka :
     a • b = a1b1 + a2b2 + c3c3
     a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
  
     a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
  
     a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
  
                                                                        20
Vektor Ortogonal
  Teorema

    Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan­nol
  
    adalah nol jika dan hanya jika vektor­vektor tersebut saling
    tegak lurus
  Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,

  dan vektor b  juga ortogonal thd vektor a.
  Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

  Untuk vektor bukan­nol

     a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
  
                                                               21
Besar dan Arah dalam Perkalian
Dot Product
  Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

             a •b          a •b
   cos γ =            =
                        a •a b•b
           | a || b |
                                    22
Applications of Vector Product
Moment of a force                                                 |P|=1000 lb
                                                             30o
   Find moment of force P

   about the center of the
                                                        1,5 ft
   wheel.
P = [1000 cos 30°, 1000 sin 30°, 0]
   = [866, 500, 0]
r = [0, − 1.5, 0] (pusat roda pada titik y = 1,5)
              i     j k
                                        0 1.5
m = r × p = 0 1.5 0 = 0i + 0 j +                  k = [0, 0, − 1299]
                                      866 500
             866 500 0
  Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
                                                                            23
Scalar Triple Product
Scalar triple product dari tiga vektor
a = [a1 , a2 , a3 ], b = [b1 , b2 , b3 ], c = [c1 , c2 , c3 ]
ditulis (a b c) didefiniskan sebagai  
(a b c) = a • (b × c)     andaikan b × c = v = [v1 , v 2 , v 3 ]
a • (b × c) = a • v = a1v1, a2 v2 , a3v3
                      b3 b1 
     b2    b3                             b b
                     −             + a3 1 2
= a1            − a2 
                        c3 c1 
     c2 c3                                c1 c2
                                  
Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg
                             b1 b2       b3
 (a b c) = a • (b × c) = b1 b2           b3
                             c1 c2       c3
                                                                 24
      Scalar Triple Product
      Geometric representation
                                        a,b,c vektor
                                      
      b x c
                                        β sudut antara (bxc)
                                      
                                        dan a
          a
       β
                                        h tinggi parallelogram
            h                         
                c
                           b
Besar a • (b × c)
| a • (b × c) |=| a || b × c | cos β
| a | cos β = height h
 jajaran genjang alas dengan sisi b dan c mempunyai luas area | b × c |
                                                                25